1 - Teste de Wilcoxon - Amostra Única

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Consideremos uma população P com distribuição contínua e simétrica no qual retiramos uma amostra aleatória X1, X2, ..., Xn . Nosso interesse é estudar o comportamento da mediana populacional com relação a um valor θ0 especificado.

O teste de Wilcoxon é baseado nos postos (ranks) dos valores obtidos. Postos são as posições, representados por números, que os valores ocupam quando colocados em ordem crescente. Por exemplo, considere o seguinte conjunto de valores:

12 17 15 19 14 16 11

Colocando em ordem crescente e atribuindo a cada valor seu posto, temos

Valor 11 12 14 15 16 17 19
Posto 1 2 3 4 5 6 7

As seguintes hipóteses são necessárias para o desenvolvimento deste teste de hipóteses:

  1. As observações Xi's são independentes.
  2. Cada observação Xi é obtida de uma população que é contínua e simétrica em torno de θ0. Desta forma, admitimos que a probabilidade (em teoria) de que dois valores amostrais coincidam é zero. 

Para a realização do teste de Wilcoxon estabelecemos uma das seguintes hipóteses: 

\theta \ \textless \ \theta_0\end{array}\right.\]

que são equivalentes as hipóteses 

\theta-\theta_0 \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

Inicialmente devemos subtrair θ0 de cada valor Xi, i = 1, ..., n, da amostra e assim obtemos um novo conjunto de dados, Z1, Z2, ..., Zn onde Zi = Xi0.

Ordenamos de forma crescente o novo conjunto de dados {|Z1|, |Z2|, ..., |Zn|} (observe que ordenamos o conjunto dos valores absolutos, ou seja, não consideramos o sinal do elemento Zi) e associamos a cada valor Zi o posto Rcorrespondente. A seguir, definimos as variáveis indicadoras ψi, i = 1, 2, ..., n, dadas por 

\[\psi_i=\left\{\begin{array}{l}1, \ \hbox{se} \ Z_i \ \textgreater \ 0\\0, \ \hbox{se} \ Z_i \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

ou seja, se Xi0 > 0, então ψi = 1, caso contrário, ψi = 0.

Obtemos os n produtos R1ψ1, ..., Rnψn. Cada produto Riψi é chamado posto positivo de Zi. Neste caso, se Zi > 0, Riψi é igual ao posto Ri correspondente e se Zi < 0, Riψi é igual a 0. 

Definimos a estatística T+ como a soma dos postos que têm sinal positivo, ou seja, 

\[T^+=\sum_i^n R_i\psi_i\]

Exemplo 1.1: 

Considere a seguinte amostra

126 142 156 228 245 246
370 419 433 454 478 503

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Suponha que os dados da amostra são distribuídos simetricamente em torno da mediana θ0 = 220.

Subtraindo o valor 220 de cada valor da amostra temos um novo conjunto de dados:

-94 -78 -64 8 25 26 150 199 213 234 258 283

Colocando em ordem crescente os valores absolutos, associamos à cada valor o posto correspondente (Ri) e as variáveis indicadoras ψi.

Valor 8 25 26 -64 -78 -94 150 199 213 234 258 283
Posto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ψi 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Tabela 1.1: Postos combinados para uma amostra única.

Neste caso, a estatística T+ é a soma dos postos positivos, isto é 

\[T^+=\sum_{i=1}^{12} R_i\psi_i = 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63.\]

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