- Estatcamp: (16) 3376-2047 [email protected]
- [email protected] https://www.actionstat.com.br
Consideremos uma população P com distribuição contínua e simétrica no qual retiramos uma amostra aleatória X1, X2, ..., Xn . Nosso interesse é estudar o comportamento da mediana populacional com relação a um valor θ0 especificado.
O teste de Wilcoxon é baseado nos postos (ranks) dos valores obtidos. Postos são as posições, representados por números, que os valores ocupam quando colocados em ordem crescente. Por exemplo, considere o seguinte conjunto de valores:
12 | 17 | 15 | 19 | 14 | 16 | 11 |
Colocando em ordem crescente e atribuindo a cada valor seu posto, temos
Valor | 11 | 12 | 14 | 15 | 16 | 17 | 19 |
Posto | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
As seguintes hipóteses são necessárias para o desenvolvimento deste teste de hipóteses:
Para a realização do teste de Wilcoxon estabelecemos uma das seguintes hipóteses: \[\left\{\begin{array}{l}H_0 : \theta = \theta_{0} \\H_1 : \theta \neq \theta_{0} \\ \end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0: \theta =\theta_0\\ H_1: \theta \ \textgreater \ \theta_0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\theta=\theta_0\\H_1:\theta \ \textless \ \theta_0\end{array}\right.\]
que são equivalentes as hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\theta-\theta_0=0\\H_1:\theta-\theta_0\neq 0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\theta-\theta_0=0\\H_1:\theta-\theta_0 \ \textgreater \ 0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\theta-\theta_0=0\\H_1:\theta-\theta_0 \ \textless \ 0\end{array}\right.\]
Inicialmente devemos subtrair θ0 de cada valor Xi, i = 1, ..., n, da amostra e assim obtemos um novo conjunto de dados, Z1, Z2, ..., Zn onde Zi = Xi-θ0.
Ordenamos de forma crescente o novo conjunto de dados {|Z1|, |Z2|, ..., |Zn|} (observe que ordenamos o conjunto dos valores absolutos, ou seja, não consideramos o sinal do elemento Zi) e associamos a cada valor Zi o posto Ri correspondente. A seguir, definimos as variáveis indicadoras ψi, i = 1, 2, ..., n, dadas por \[\psi_i=\left\{\begin{array}{l}1, \ \hbox{se} \ Z_i \ \textgreater \ 0\\0, \ \hbox{se} \ Z_i \ \textless \ 0\end{array}\right.\]
ou seja, se Xi-θ0 > 0, então ψi = 1, caso contrário, ψi = 0.
Obtemos os n produtos R1ψ1, ..., Rnψn. Cada produto Riψi é chamado posto positivo de Zi. Neste caso, se Zi > 0, Riψi é igual ao posto Ri correspondente e se Zi < 0, Riψi é igual a 0.
Definimos a estatística T+ como a soma dos postos que têm sinal positivo, ou seja, \[T^+=\sum_i^n R_i\psi_i\]
Considere a seguinte amostra
126 | 142 | 156 | 228 | 245 | 246 |
370 | 419 | 433 | 454 | 478 | 503 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Suponha que os dados da amostra são distribuídos simetricamente em torno da mediana θ0 = 220.
Subtraindo o valor 220 de cada valor da amostra temos um novo conjunto de dados:
-94 | -78 | -64 | 8 | 25 | 26 | 150 | 199 | 213 | 234 | 258 | 283 |
Colocando em ordem crescente os valores absolutos, associamos à cada valor o posto correspondente (Ri) e as variáveis indicadoras ψi.
Valor | 8 | 25 | 26 | -64 | -78 | -94 | 150 | 199 | 213 | 234 | 258 | 283 |
Posto | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
ψi | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tabela 1.1: Postos combinados para uma amostra única.
Neste caso, a estatística T+ é a soma dos postos positivos, isto é \[T^+=\sum_{i=1}^{12} R_i\psi_i = 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63.\]
O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.