1 - Teste de Wilcoxon - Amostra Única

Consideremos uma população P com distribuição contínua e simétrica no qual retiramos uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X_n . Nosso interesse é estudar o comportamento da mediana populacional com relação a um valor θ₀ especificado.

O teste de Wilcoxon é baseado nos postos (ranks) dos valores obtidos. Postos são as posições, representados por números, que os valores ocupam quando colocados em ordem crescente. Por exemplo, considere o seguinte conjunto de valores:

Colocando em ordem crescente e atribuindo a cada valor seu posto, temos

As seguintes hipóteses são necessárias para o desenvolvimento deste teste de hipóteses:

1. As observações X_i's são independentes.
2. Cada observação X_i é obtida de uma população que é contínua e simétrica em torno de θ₀. Desta forma, admitimos que a probabilidade (em teoria) de que dois valores amostrais coincidam é zero. 

Para a realização do teste de Wilcoxon estabelecemos uma das seguintes hipóteses: \[\left\{\begin{array}{l}H_0 : \theta = \theta_{0} \\H_1 : \theta \neq \theta_{0} \\ \end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0: \theta =\theta_0\\ H_1: \theta \ \textgreater \ \theta_0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\theta=\theta_0\\H_1:\theta \ \textless \ \theta_0\end{array}\right.\]

que são equivalentes as hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\theta-\theta_0=0\\H_1:\theta-\theta_0\neq 0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\theta-\theta_0=0\\H_1:\theta-\theta_0 \ \textgreater \ 0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\theta-\theta_0=0\\H_1:\theta-\theta_0 \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

Inicialmente devemos subtrair θ₀ de cada valor X_i, i = 1, ..., n, da amostra e assim obtemos um novo conjunto de dados, Z₁, Z₂, ..., Z_n onde Z_i = X_i-θ₀.

Ordenamos de forma crescente o novo conjunto de dados {|Z₁|, |Z₂|, ..., |Z_n|} (observe que ordenamos o conjunto dos valores absolutos, ou seja, não consideramos o sinal do elemento Z_i) e associamos a cada valor Z_i o posto R_i correspondente. A seguir, definimos as variáveis indicadoras ψ_i, i = 1, 2, ..., n, dadas por \[\psi_i=\left\{\begin{array}{l}1, \ \hbox{se} \ Z_i \ \textgreater \ 0\\0, \ \hbox{se} \ Z_i \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

ou seja, se X_i-θ₀ > 0, então ψ_i = 1, caso contrário, ψ_i = 0.

Obtemos os n produtos R₁ψ₁, ..., R_nψ_n. Cada produto R_iψ_i é chamado posto positivo de Z_i. Neste caso, se Z_i > 0, R_iψ_i é igual ao posto R_i correspondente e se Z_i < 0, R_iψ_i é igual a 0. 

Definimos a estatística T⁺ como a soma dos postos que têm sinal positivo, ou seja, \[T^+=\sum_i^n R_i\psi_i\]

Exemplo 1.1: 

Considere a seguinte amostra

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Suponha que os dados da amostra são distribuídos simetricamente em torno da mediana θ₀ = 220.

Subtraindo o valor 220 de cada valor da amostra temos um novo conjunto de dados:

Colocando em ordem crescente os valores absolutos, associamos à cada valor o posto correspondente (R_i) e as variáveis indicadoras ψ_i.

Tabela 1.1: Postos combinados para uma amostra única.

Neste caso, a estatística T⁺ é a soma dos postos positivos, isto é \[T^+=\sum_{i=1}^{12} R_i\psi_i = 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63.\]