3 - Teste de Wilcoxon Pareado

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O teste de Wilcoxon pareado é utilizado para comparar se as medidas de posição de duas amostras são iguais no caso em que as amostras são dependentes.

Para isto, consideramos duas amostras dependentes de tamanho n vindas de duas populações P1 e P2, isto é,  X1, ..., Xn e Y1, ..., YnComo neste caso as amostras são dependentes não podemos aplicar o Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney.

Neste caso vamos considerar observações pareadas, isto é, podemos considerar que temos na realidade uma amostra de pares:

\[\{(X_1, Y_1),\ldots , (X_n, Y_n)\}.\]

Vamos definir Di = Xi - Yi, para i = 1, 2, ..., n. Assim, obtemos a amostra D1, D2, ..., Dn, resultante das diferenças entre os valores de cada par.

Para realizar o Teste de Wilcoxon Pareado devemos primeiramente estabelecer as hipóteses:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\Delta=0\\H_1:\Delta\neq0\end{array}\right.\quad\left\{\begin{array}{l}H_0: \Delta=0\\H_1:\Delta \ \textgreater \ 0\end{array}\right.\quad\left\{\begin{array}{l}H_0:\Delta =0\\H_1:\Delta \ \textless \ 0\end{array}\right.~~~(3.1)\]

Ou seja, estaremos testando se as populações diferem em localização ou não utilizando a seguinte idéia: se aceitarmos a hipótese nula, temos que a mediana da diferença é nula, ou seja, as populações não diferem em localização. Já, se a hipótese nula for rejeitada, ou seja, se a mediana da diferença não for nula, temos que as populações diferem em localização.

Dessa forma, o nosso teste se tornou um Teste de Wilcoxon para uma única amostra - a amostra D1, ..., Dn onde θ0 = 0.

A partir daí, devemos seguir os passos do Teste de Wilcoxon para uma única amostra.

Observação:

No Teste de Wilcoxon o conjunto de dados analisado é o conjunto obtido subtraindo-se θ0 de cada valor da amostra. Como neste caso θ0 = 0, o conjunto que analisaremos é o próprio conjunto D1, ..., Dn.

 

Exemplo 3.1: 

Consideremos duas amostras dependentes cujos dados estão na Tabela abaixo. Existem evidências de diferença entre as duas amostras?

Amostra 1 564 521 495 564 560 481 545 478 580 484 539 467
Amostra 2 557 505 465 562 545 448 531 458 562 485 520 445
Diferença 7 16 30 2 15 33 14 20 18 -1 19 22

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Denotamos as observações da amostra 1 por Xi, i = 1, ..., 12, e da amostra 2 por Yi, i = 1, ..., 12. Podemos escrever os pares de observações (X1,Y1), (X2,Y2), ..., (X12,Y12). Analisamos a diferença Di = Yi -Xi. D1, ..., D12 é uma amostra de 12 observações independentes e igualmente distribuídas.

A Tabela abaixo nos da as diferenças da Tabela 3.1 ordenadas de forma crescente (a partir dos valores absolutos das diferenças) e seus respectivos postos.

Diferença -1 2 7 14 15 16 18 19 20 22 30 33
Postos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Assim, nosso teste agora se resume em um Teste de Wilcoxon para uma única amostra.

Temos que a estatística T+ que é soma dos postos positivos é dada por

\[T^+=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 77.\]

Utilizando a distribuição exata da estatística de Wilcoxon para uma única amostra, temos que, para α = 5%, os valores críticos são t1 = 14 e t2 = 64.

Conclusão:

Como o valor crítico T+obs = 77 > t2 = 64, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências de diferenças entre as duas amostras.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

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